OKUNASI KİTAPLAR VE OPERA

OKUNASI KİTAPLAR VE OPERA
Sevgili okuyucularım bu sizlerle son buluşmamız. Bugün sizlere Matematikle ilgili okumuş olduğum ve şiddetle tavsiye ettiğim bir kaç kitaptan ve izlediğim opera gösterisinden bahsetmek istiyorum.
 
 İlk okuduğum kitap Sinan SERTÖZ'ün 'Matematiğin Aydınlık Dünyası' kitabıydı. Kitap okumayı çok sevmeme rağmen daha önce hiç matematikle ilgili kitap okumamıştım okuduğum ilk kitap buydu ve gerçekten çok sevdiğim ve bana çok şey katan bir kitap oldu. Kitapta genel olarak matematiğin okullarda anlatılan anlaşılmaz konulardan oluşan bilgi yumağı olmadığını her yerde matematiğin olduğunu ve matematiğin bir insanlık macerası olduğunu anlatıyor. Kitabın yazarı Bilkent üniversitesinde öğretim üyesi, TRT için hazırladığı belgesellerden yola çıkarak bu kitabı hazırlamış.( Belgeselleri de kesinlikle izlemenizi tavsiye ediyorum. matematiğe bakış açınız değişecek.) Kitabın içerisinde birçok akademisyelerin görüşleri de yer almakta.
Kitabın içerisinde çok etkilendiğim bir bölümden bahsetmek istiyorum.

''... Galois'ı düşünseniz; yirmi yaşlarında ertesi gün düello edeceğini ve beceresinin olmaması nedeniyle düelloda hayatını kaybedeceğini hemen hemen yüzde yüz kesinlikle bilmesine karşın hayatının son gecesini oturup Galois gruplarıyla ilgili en son kafasından geçen fikirleri bir kağıda dökmeyi ve de ''...ömrüm devam edebilse yapacak daha nelerim var'' diye işi kapatmayı düşünebiliyor adam.''

 
Kitapta sadece matematiğe gönül vermiş insanları değil sıfırdan, sonsuzluktan, pi sayısından, fraktallardan, fibonacci dizisinden ve daha birçok şeyden bahsediyor. 

 
 
İkinci olarak bahsetmek istediğim kitap Ali NESİN'in ''Matematik ve Sanat'' kitabı. Ali Nesin kitaba çok güzel bir ön söz yazmış. Eğitim sistemimizden, anne babaların çocuklarını yanlış yönlendirmesinden bahsediyor. Kitap aslında genel olarak sorulardan oluşuyor. Bu soruların çoğuna cevap bulamıyorsunuz, çoğu kafanızı karıştırıyor ancak düşünmenizi sağlıyor ve aslında yazarımız da bunu istiyor. Kitaptaki soruları matematik derslerinde öğrencilerimizin dikkatini çekebilmek için, dikkati toplayabilmek için kullanabiliriz. Bu yüzden bu kitabın da oldukça faydalı olduğunu düşünüyorum.
 
 
Son olarak da Joseph MAZUR'un ''Matematik Sembollerinin Kısa Tarihi'' kitabı... Kitabın adından anlaşılacağı üzere matematik sembollerinin nasıl ortaya çıktığını ve zaman içinde nasıl değişim gösterdiğini anlatıyor ve oldukça ilginç öykülerle karşılaşabiliyorsunuz. Matematikte o kadar çok sembol var ki insan bazen ''Bu nasıl bir sembol?'' , ''Bunu kim bulmuş?'' diyebiliyor hatta bazen yıllarca kullandığımız artı eksi sembollerinin bile nasıl ortaya çıktığı beynimizi kurcalıyor ya da bazımız bunların hiç birini önemsemiyoruz bile. İşte tüm bu sorularımıza cevap verecek nitelikte bir kitap..
 
 
OPERA

 
Daha önce operaya gittiniz mi? Peki gitmediyseniz opera size neyi çağrıştırıyor? Ben daha önce hiç operaya gitmemiştim ve operayı sadece okuduğum kitaplardan izlediğim filmlerden biliyordum. Tamamen farklı bir atmosfer. Dünyanın sıkıcılığından, yoğunluğundan alıp sizi bambaşka diyarlara götürüyor. Terapi gibi.. İçinizde oluşan çoşku ise cabası. Bu hayatta en az bir defa yapılması gereken etkinliklerden bir tanesi. Gidin ve o zevki yaşayın...

FOTOĞRAFLARLA DOĞA VE MATEMATİK

FOTOĞRAF KARELERİYLE DOĞADAKİ MATEMATİK
Sevgili okurlarım merhabalar. Bir önceki yazımda sizlere doğa ve matematik ilişkisinden söz etmiştim. Bugün de geçen hafta anlattıklarımı somut delillerle anlatmaya çalışacağım. İşte sizler için çektiğim fotoğraflar..

 

 

 

 

Doğadaki bu mükemmellik karşısında hayrete düşmemek elde değil. Sadece güzelliği değil aslında bizi etkileyen güzelliğin yanı sıra düzen. İşte bu düzen de matematiğin bir sonucu ya da bu düzen bizi matematiğe ulaştırıyor.

 

Doğa ve matematik deyince akla gelen ilk şey şüphesiz fraktallar. İşte doğadan fraktal kareleri..

 

 

 

 

 

Düzen demişken simetriyi unutmamak gerek. Simetriyi bir yaprakta bile görmek mümkün.

 

 

 

Bugüne kadar paylaştığım birçok yazıda gerek müzikte gerek resimde gerek mimaride hep altın orandan bahsettim doğada da altın orana rastlamak elbet mümkün.. Salyangoz ve kozalakta yapılan çalışmalar sonucunda altın orana rastlanılmış.

 

 

 

 

Sevgili okurlarım matematik dersini daha çekici kılmanın bir diğer yöntemi de doğadaki matematiği keşfettirmek aslında. Bu görselleri derslerimizde kullanarak ya da öğrencilerimize bunlara benzer fotoğrafları çekmelerini isteyerek onlara matematiği sevdirebilir ve anlaşılması zor olan simetri, fraktal gibi konuları görselleştirebiliriz..





DOĞA VE MATEMATİK

DOĞA MI YOKSA MATEMATİK Mİ DAHA MÜKEMMEL? 

Sevgili okurlarım merhabalar. Bu yazıma sizlere bir soru sorarak başlamak istiyorum.
''Doğa içinde böyle bir matematik olduğu için mi güzel, yoksa matematik doğanın her tarafında göründüğü için mi güzel?'' Geçen haftalarda müziği, resmi, mimariyi matematikle ilişkilendirmiştik. O notaların mükemmel uyumunda, resim ve tablolardaki muazzam oranlarda, mimarinin her noktasında matematiği görmek beni oldukça heyecanlandırmıştı. Bunları görebilmek ve anlayabilmek için araştırmalar yapmıştım.  Ancak bu haftanın konusu olan doğada matematiği görmek hiç de zor değil. Hele de müzikten, mimariden, resimden sonra doğanın bu kadar uyumlu, düzenli ve herkesi kendine hayran bırakacak güzellikte olması elbette matematikle ilişkilidir.  Bir çiçeğin yapraklarına, ağacın dallarına, yıldızların dizilişine, gezegenlerin döngüsüne, salyangozun şekline bakarak bile matematiği görebiliyoruz. 
Sinan SERTÖZ, 'Matematiğin Aydınlık Dünyası' isimli kitabında; ''Matematik, Yaratıcının doğanın içine bıraktığı ipuçlarıdır.'' diyor. Gerçekten de öyle, yine aynı kitapta edindiğim bazı bilgilerden bahsetmek istiyorum sizlere.

• Helis terimini daha önceden duyduğunuz mu? Helis matematiksel bir terim. Bir silindirin ana doğrularını sabit bir açıyla kesen eğri anlamına geliyor. Kitapta Helisle ilgili şu bilgiler yer almakta:

''Helis sarmaşık bitkisinin ağaca tırmanırken çizdiği eğridir. Bu eğri bir yüksekliği en kısa mesafede tırmanma problemini çözer.''

         (http://www.matematikcanavari.net/2013/07/helis-nedir.html)

• Elipsi hepimiz duymuşuzdur. Bakın elips doğanın neresinde varmış.

''Gökyüzünde gezegenler Apollonius'un zevk için çalıştığı elips eğrilerini, çizerek dolaşıyorlar.''

                      (https://www.turkcebilgi.com/gezegenler)

Fraktallar... Doğada matematiğin yansıması olarak görülen en belirgin şey fraktallardır. Fraktal bir cismi incelediğimizde hangi noktasını alırsak alalım yine başlangıçtaki şekille karşılaşmamızdır.''Bir deniz kabuğunu ele alın. Bunun üzerindeki şekillere bakın. Bunun her birisinin kıyısında ve köşesinde deniz kabuğunun kendi şekline benzer şekiller ortaya çıkabilir. Ondan sonra bunları büyütürsünüz. Biraz daha benzer şekiller ortaya çıkabilir.''

Bunlar doğa ve matematik ilişkisini gözler önüne seren sadece birkaç örnek. Matematiğin mükemmelliğini görebilmek için sadece gökyüzüne bakmak bile yeterli. Artık ağaçlara, hayvanlara, yıldızlara bakarken matematiği yakalamaya çalışacağınıza inanıyorum. Sonuçta  Sinan SERTÖZ'ün de dediği gibi ''Bilgisizliğin boş ve dingin huzurunu değil, bilginin çoşkun mutluluğunu aramak.İşte binlerce yıldır süren bu arayışın adı Matematik''...

MİMARİDEKİ MATEMATİK

MİMARİDEKİ MATEMATİK
Merhabalar sevgili okuyucularım. Uzun bir aradan sonra yeniden birlikteyiz. Geçtiğimiz haftalarda matematik ve mimari ilişkisinden bahsetmiştim. Her ne kadar araştırmalar yapsak da işin ehli olanlardan daha iyi bilemeyiz. Bu hafta Uluslararası Antalya Üniversitesi Mimarlık Fakültesi öğrencisi İrem Özsoy ile Matematik ve Mimari konulu yaptığım görüşmeden bahsedeceğim. Daha anlaşılır olabilmesi için soru cevap şeklinde konuşmamızı gerçekleştirdik. Keyifli okumalar.

-Sence matematik mimarinin neresindedir?

  -Mimari ile matematik tamamen içli dışlıdır. Mesela bir   binanın sağlam olabilmesi için üstüne yapılan katlara göre binanın temelinin matematikte kullanılan altın oranla veya yapılan her türlü matematiksel işlemler ile sağlamlığını ölçüyor, ona göre malzemeler kullanıyoruz. Elimizde matematiksel hiçbir veri, değer ya da ölçü olmadan çizimlere geçemiyoruz.

 -Benim yaptığım araştırmalara göre genellikle simetri, geometri, altın oran konuları mimaride ön plana çıkıyor. Bunlar dışında matematikle ilgili neler var ya da bu matematik konuları çalışmalarınızda nasıl kullanıyorsunuz?

- Mimarlar kolon ve kiriş aksları ve binaların diğer taşıyıcı sistemlerinde yer alan elemanları daha ifade edilir yapmak için geometriden yaralanırlar. Dediğin gibi simetri ve özellikle altın oran mimarların en yakın dostudur. En önemli eserler altın oranla ortaya çıkmıştır. Çelik konstrüksiyonda özellikle geometri kullanılır. Binanın su tesisi, ısınma tesisatı, asansör ve elektrik tesisatlarında bir uyum olması gerektiği için Pisagor teoremi kullanılır. Örneğin duvarın zemine dik olması için  3-4-5 üçgeni kurarız.

-Geçen hafta matematik ve mimari arasındaki ilişkiyi araştırırken Süleymaniye Camii de matematiğin bolca bulunduğu bilgilerine rastladım. Buna benzer başka örnekler verebilir misin?

- Öncelikle belirteyim ülkemizde altın oranı en çok kullanan isim Mimar Sinan'dır ve bilindiği üzere en ünlü yapıtlar Mimar Sinan'a aittir. Süleymaniye Camii dışında Selimiye Camii'sinde de altın oranı kullanmıştır. En çok bilinen Mısır piramitleri de altın orana göre yapılmış eserlerden biridir. Dünyanın kültürel bir sembolü olan Athena'nın tapınağı yani Parthenon Tapınağı da altın oranla inşa edilmiştir.

 

(https://tr.wikipedia.org/wiki/Dosya:Selimiye_camii.JPG)

 

                           (https://tr.wikipedia.org/wiki/Partenon#/media/File:Ac.parthenon5.jpg)

-Sen bir mimar adayısın üniversitede yaptığınız çalışmalarda matematiği ne kadar kullanıyorsunuz? Bir mimarın ya da mimar adayının matematiği iyi bilmesi ne kadar önemlidir?

- Matematiği her çizimimizde, yapılan her projede kullanıyoruz ve kullanmak zorundayız. Bir mimar ya da mimar adayının en az matematik okuyan veya bitirmiş olan bir matematikçi ile eşdeğer bir bilgisi olması gerekiyor. Bizim işimiz belli formlar yaratmak ve bu yaratılan formalara belli sınırlar çizmek için oran sistemlerini kullanıyoruz. Yani işimize matematik desteğiyle estetik ve biçimsel bir kurgu katıyoruz. Bina elemanları arasında geçen bütün o boyutsal, uzaysal ilişkileri oransal sistemler ile çiziyoruz. Sonuç olarak matematiği kullanmadığımız hiçbir dakikamız yok.

-O zaman matematik ve mimariyi birbirinden ayrı düşünemeyiz. Son olarak matematik ve mimari ilişkisini toparlayabilir misin?

-Kesinlikle öyle. Matematiğin olmadığı bir yapı hayal edin dediğinde temeli olmayan çökmüş bir yapı elde ederiz hatta ortada yapı denilecek bir şey olmaz. Mimarlık dediğimizde akla gelen ilk şey kentsel ihtiyaçlar. Bir sığınak, bir ev, bir bina yapan bölüm. Basitçesi budur insanların gözünde ama bunların dışında insanların gözüne estetik açıdan anlamlar katmak, bir kentin bir ülkenin belli bir armonide olması gerekmektedir. Dolayısıyla bunu yapabilmek için mimarların sağ kolu olan hem iç hem dış kompozisyonda kullanılan oranlar olduğu için matematikten vazgeçmemiz mümkün değildir.

Evet sevgili okurlarım gördüğünüz üzere matematik ve mimari birbirinden ayrılamaz bir bütün. Matematik olmadan mimari eksik kalıyor hatta yok oluyor. Mimaride de daha çok altın oran, Pisagor teoremi, simetri ön plana çıkıyor. Mimari ve matematik ilişkisini daha iyi beyninizde şekillendirebileceğiniz bir yazı olmuştur umarım. Mutlu kalın...

MATEMATİĞİN MİMARİDEKİ YANSIMALARI

 MATEMATİĞİN MİMARİDEKİ YANSIMALARI
Sevgili okuyucularım bugün sizlere önemli mimari yapılardan bahsetmek istiyorum. Taktir edersiniz ki bugüne kadar oluşturduğum yazılarda örneğin müzikle, resimle matematiği bağdaştırmak biraz zordu ya da akla fazla gelmiyordu içli dışlı olacakları. Ancak matematiğin en güzel örneklerinin görüleceği bir alan mimaridir. Değişik tasarımlara, ilginç çizimlere bakıldığında matematiğin bolca kullanıldığını görmek mümkündür. İlginç demişken gerçekten ilginç bir tasarım olan Sydney Opera House (Sidney Opera Evi) nden bahsetmek istiyorum.

UNESCO tarafından 2007 yılında Dünya mirasları listesine eklenen, 20. yüzyılın en ünlü yapılarından olan bu yapı Danimarkalı ünlü mimar Jørn Utzon tarafından tasarlanmışır. Bu ilginç yapının yapım aşamasıyla ilgili şu ilginç bilgiler bulunmaktadır;

''1959'da Sydney'e bir opera binası yapmak için düzenlenen tasarım yarışmasına 32 ülkeden 222 kişi katıldı. Kazanan neredeyse hiç tanınmayan, 40'lı yaşlarında Hollandalı bir mimar, Joern Utzon oldu. Diğer yarışmacıların çoğu gibi binanın yapılacağı yeri hiç görmeden, fotoğraflara bakarak çalışmıştı. Tasarımı, kısmen Sydney'in eşsiz güzellikteki limanında duran yatların yelkenlerinden, kısmen de Meksika'da gördüğü Maya ve Aztek tapınaklarından ilham almıştı.Utzon'un tasarımı diğerlerine göre çok daha sıra dışı ve heyecan verici olmasının yanı sıra, hayata geçirilmesi en zor projeydi. Önerilen binanın hem görüntüsü hem de yapım masrafı büyük tartışmalara yol açtı. Sydney sokaklarındaki taksi şoförleri bina üzerine, yumrukların konuştuğu tartışmalara girdiler. Binanın 1963'te açılması ve yedi milyon dolara mal olması bekleniyordu. Ancak 10 yıl sonra açılabildi ve tutarı 100 milyon doları geçti. Paranın çoğu düzenlenen piyangolarla toplandı. Aralıksız tartışmalar ve şiddet olayları arasında proje yine de ilerledi. Utzon 1966'da hoşnutsuzluk içinde istifa etti. Yapının güzel beton iskeletinin ya da 'yelkenlerinin' (elips paraboloitler), orijinalindekine uygun yapılmasının imkansız olduğu anlaşıldı ve tasarımda değişiklik yapıldı. Sorunu çözmek için binlerce saat süren bilgisayar çalışmaları yapıldı. Sonuçta ortaya çıkan yapı Utzon'un tasarımının olduğu kadar, Ove Arup'un mühendisliğinin de bir zaferidir. ''  (http://emlakansiklopedisi.com/wiki/sidney-opera-binasi-avustralya)

 

''Yarışma projesindeki kabuklar aslında tanımsız bir geometrideydi, ancak erken tasarım sürecinde, “kabuk” bir dizi parabol tarafından desteklenen prekast beton nervür olarak algılandı. Ancak, mühendisler bunları oluşturmak için kabul edilebilir bir çözüm bulamadı.''  (http://haber.sermimar.net/avustralya-ve-sydney-opera-binasi.html )

Tüm bu bilgilerin ışığında eserin sadece fotoğrafına bakıldığında bile gerek çatısındaki daire dilimleri gerek bunların konumlanması olsun matematiğin ince dokunuşlarını görebiliyoruz.


Mimariden bahsetmişken geçmişimizin en önemli isimlerinden olan Mimar Sinan'dan bahsetmemek olmaz. Mimar Sinan'ın eserlerinin ne kadar dayanıklı ne kadar gizemli olduğunu hep duymuşuzdur. Süleymaniye Cami, Selimiye Cami veya diğer birçok eserine baktığımızda ve yahut gezip gördüğümüzde bizde hep bir hayranlık ve şaşkınlık duygusu oluşturur.
Hürriyet gazetesinde Vahit Okumuş'la yapılan röportajda Okumuş şu bilgileri aktarmıştır:

"Sinan mühendislik dalında, akustikte, köprüde, kemerde, istinat duvarında, barajlarda, zeminde, izolasyonda, deprem konusunda dünya biliminin bugün dahi ulaşamadığı, yeni bir matematik sistem kurmuştur. Bu sistemin adına da 'birim daire metodu' denir. Bugün dünyada ilk kez ben yayınladım, şu anda da bilip kullanan yoktur. Sinan bu nedenle filozoftur, çünkü kendine özgün bir mühendislik oluşturmuş, bulduğu statik sistemle, matematiksel çözümler üretmiştir.''

(https://tarihtenbilgiler.com/suleymaniye-cami/)

(http://www.uludagsozluk.com/r/s%C3%BCleymaniye-camii-141302/ters/)



"Süleymaniye Camisi'ne Sabah namazına gidiyordum ve öğlene kadar camiyi izliyordum. Amacım şuydu; neyi nasıl ve niçin yaptığını görmek için eseri iyi tanımalıydım. Kullandığı malzeme ne? Taş kullanmış, tuğla kullanmış. Taş ve tuğla, eğilmeye ve çekmeye dayanmaz. Öyleyse bütün eserlerini, basınca dayanır şekilde yapma mecburiyetindeydi, yoksa bu eserlerin yaşaması mümkün değildi. O zaman basınca dayanır bir form vermek için ne yapmıştır? diye düşündüm. Basınca dayanıklılık için kullandığı metodu buldum. Çok iyi trigonometri bilir. Trigonometriden yola çıkarak, bunu buldum. Kubbenin dönüşünü bulmak için aylarca, yıllarca uğraştım. Çünkü onu formüle etmesi gerekiyordu. Hep anlatılır; 'Süleymaniye'de akustik için küp kullanmıştır'. Hayır, yalan söylüyorlar çünkü statik ona emretmiştir, 'burada boşluk bırakacaksın' diye. Akustik çalışması da yaptım Süleymaniye Camisi'nde. Hiç bilmediğimiz galen taşını kullanmıştır akustik için. Sinan, Süleymaniye Camisi'nin duvarlarına hiçbir zaman yük taşıtmamıştır. Kemerlerine taşıtmıştır. Süleymaniye'de duvarların için boştur."( http://www.hurriyet.com.tr/mimar-sinanin-matematigi-cozuldu-40084838)

Matematiğin mimarideki yansımalarını da bir nebze olsun görmüş olduk. Matematik her alanda olduğu gibi mimarinin de içine sızmıştır.



 





PARADOKS

 MAHŞERİN ÜÇ PARADOKSÇUSU

Sevgili okuyucularım merhabalar. Bugüne kadar yazdığım yazılarda bir nebze  olsun matematiğin öğrencilere dayatılan bir ders olmanın dışında hayatın her anında bulunan, kendiliğinden ortaya çıkan veya biz insanların oluşturduğu bilim ve sanat olduğunu ifadeye etmeye çalıştım. Amacım matematiğe farklı bir gözle bakabilmenizi sağlamaktı. Çünkü matematiğin 'zor' ve 'sıkıcı' olduğuyla alakalı bir algı var. Öğrenciler matematikten korkuyorlar ve matematiği sevmediğini söylüyorlar. Maalesef ki öğretmenlerimiz de matematiğe farklı bir bakış açısıyla baktırabilmek, farklı bilim dallarıyla ilişkilendirmek yerine hiç merak uyandırmadan, isteği ve ilgiyi artırmadan dersi anlatıyorlar ve önemli yerleri EZBERLEtiyorlar. Sinan Sertöz'ün 'Matematiğin Aydınlık Dünyası' isimli kitabında söylediği gibi

   ''Matematikte ezber diye bir şey yoktur.''

Sertöz aynı kitabında matematiği şu cümlelerle tanımlıyor:

   ''Matematik, Yaratıcının doğanın içine bıraktığı ipuçlarıdır.'',        ''Matematik belli bir eğitimden sonra, kişinin kendisine  kazandıracağı bir eğitimden sonra, elde edilen bir yaşama sevincidir, bir insanlık macerasıdır.'' , ''Bilgisizliğin boş ve dingin huzurunu değil, bilginin çoşkun mutluluğunu aramak. İşte binlerce yıldır süren bu arayışın adı Matematik.'' 

İşte biz matematik öğretmenlerinin en önemli görevi bu tanımları içselleştirip öğrencilerinin matematiğe bu şekilde bakabilmelerini sağlamaktır. Bugün sizlere matematik dersleri içerisine serpiştirilebilecek oldukça ilgi çekici bir konudan bahsetmek istiyorum.

Yazının bundan sonraki kısmını daha iyi anlayabilmeniz için ÖĞRETMEN'İN ESERİ ve MÜZİĞİ DANSA KALDIRAN MATEMATİK başlıklı yazılarımı okumanızı tavsiye ederim. Çünkü  bugün Escher, Bach ve daha önceden bahsetmediğim Gödel'in çalışmalarının hangi noktada kesiştiğinden bahsedeceğim. Escher'in resim, Bach'ın ise müzik alanında dahi olduğundan bahsetmiştik.

Peki Gödel kimdir? Gödel mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefesicidir. Onun da diğer dehalar gibi ilgi çekici bir kişiliği vardır. Yaşamının son yıllarında zehirleneceği paranoyasına kapılarak hiçbir şey yememeye başlamış ve bunun sonucunda da beslenme yetersizliğinden hayata gözlerini yummuştur.(Daha fazla bilgi için: https://tr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del )

Şimdi zihinlerinizde neden Escher, Bach ve Gödel soruları belirmeye başlamıştır. Hayat hikayelerini okuyunca aslında birbiriyle bağlantısı olmayan ve farklı alanlarda çalışmalar yapmış bilim ve sanat insanı gibi görünüyorlar ancak çok çarpıcı bir noktada eserleri kesişiyor. Paradoks.

Escher'in çizimlerine baktığımızda hayır sadece baktığımızda değil dikkatli bir şekilde anlamaya çalıştığımızda sürekli bir döngüyle karşılaşıyoruz. Döngüyü devam ettirdiğimizde ise sürekli aynı noktaya çıkarak çıldıracak gibi oluyoruz. Escher çizimlerinde beynimizle alay ediyor sanki. Böyle bir mükemmelliğe sahip. Örneğin aşağıda gördüğünüz ''Çizen eller'' eseri.

 

Sağ el sol eli, sol elde sağ eli çiziyor ve bir paradoksa düşüyoruz. Aşağıdaki video Escher'in ''Görecelik'' isimli eserinden yola çıkılarak hazırlanan bir animasyon. Buradaki paradoksu kolaylıkla görebiliyoruz.

 

Birazda Bach'dan bahsedelim. Bach'ın ''Yengeç Kanonu''nda bulunan iki ses birbirinin aynısı ve birbirinin tersten çalınmış halidir. Aşağıdaki videodaYengeç Kanonu ve Möbius Şeridinin nasıl iç içe olduğunu ve müzikteki paradoksun bir örneğini göreceksiniz.

 

Peki Gödel'in paradoksla bağlantısı ne? Belki de içlerinde en çok Gödel paradoksla ilgilenmiştir. Galatasaray Üniversitesi Matematik Bölümü'nden İrem PORTAKAL'ın 'Garip Döngüler' başlıklı makalesinde şu bilgiler bulunmaktadır:

''Gödel’in keşfi, felsefedeki eski bir paradoksun matematik terimlerine çevrilmesidir. Paradoks, Epimenides paradoksu veya yalancı paradoks olarak bilinir. Epimenides ölümsüz bir tümce söylemiş bir Giritliydi: “Bütün Giritliler yalancıdır.”. Bu önermenin çarpıcı bir versiyonu basitçe “Ben yalan söylüyorum” ya da “Bu önerme yanlıştır”dır. Bu önermenin yanlış ya da doğru olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü, önermenin bir an için doğru olduğunu düşünürseniz anında geri teper ve size yanlış olduğunu düşündürür. Ama yanlış olduğuna karar verdiğinizde de, benzer bir geri tepmeyle sizi onun doğru olması gerektiği düşüncesine döndürür. Gödel’in keşfettiği, Epimenides paradoksunun matematikle ilişkisidir. Eksiklik Teoremi. Teorem, 1931 yılında “Principia Mathematica ve Benzeri Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine” başlıklı makalesinde VI. Önerme olarak ortaya çıkar ve basitçe şöyle der: Sayı kuramının bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir.  “Bu önerme yanlıştır” önermesinin doğru olduğunu kabul edelim, o halde, önerme doğrudur. Ancak, önermenin yanlış olduğunu biliyoruz. O halde önerme doğru olamaz. Önerme yanlışsa, “Bu önerme yanlıştır” önermesi yanlıştır, o halde önerme doğrudur.
      Gödel’in ikinci Eksiklik Teoremi birincisinden de felsefidir. Bu teoreme göre, doğal sayıları, toplamayı ve çarpmayı anlayacak güçte olan bir matematik sistemi hiçbir zaman kendisinin çelişkisiz olduğunu kanıtlayamaz. Bu teorem, matematiğin çelişkili ya da çelişkisiz olduğunu söylemiyor, sadece çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını söylüyor.''

Buradan tarihte önemli yere sahip olan 3 ismin eserlerinin paradoks kavramında kesiştiğini görüyoruz. ''Peki iyi, güzel. Adamlar ya sezgisel olarak ya da gerçekten uzun uğraşlar sonucunda paradoksu oluşturmuşlar. Ancak bunu matematik dersinde nasıl kullanacağım?'' dediğinizi duyar gibiyim. Öğrenciler merak ettikleri şeye ilgi duyarlar ve ilgi duydukları şeyi severler, sevdikleri şeylerde de başarılı olurlar. Paradoks gibi bu kadar ilgi çekici bir konuyu matematikle ilgisi olması açısından dersin girişinde yukarıdaki bilgilerden bahsederek ya da ilgili videoları izleterek tüm ilgiyi toplayabiliriz. Ya da ortaokul ve lise öğrencilerini oldukça zorlayan yaş problemleri, havuz problemleri, karışım problemleri gibi konulardan önce içinde paradoksu bulunduran örneğin;

•  İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

          "Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir.    Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

•  Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?Kendi kendine traş olsa;  kendisini traş edebildiği için  tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir.

gibi problemlerle derse başlayıp hem öğrencilere beyin fırtınası  yaptırmış hem de merak duygularını ön plana çıkarmış oluruz.

 

DERS:MATEMATİK, KONU:GEOMETRİ

BİR MATEMATİK DERSİ
Merhabalar sevgili okurlarım. Bu hafta sanatta oldukça önemli yere sahip olan Leonardo da Vinci'nin Mona Lisa adlı eseri hakkında konuşacağım. Bu oldukça gizemli, sanat kokan ve bir o kadar bilimle içi içe girmiş yolculuğa hazır mısınız?

Öncelikle birazcık Leonardo da Vinci'den bahsetmek istiyorum. Bence kendisi gelmiş geçmiş sanatkarlar ve bilim adamları içerisinde en önemli yere sahip ve bir o kadarda sıra dışı birisi... Neden mi böyle konuşuyorum? Çünkü adını tarihin tozlu sayfalarına filozof, mimar, mühendis, ressam, jeolog, astronom, yazar, matematikçi, botanist, heykeltıraş, anatomist ve müzisyen olarak yazdırmış.(Daha fazla bilgi için: https://tr.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci)  İnsanın inanası gelmiyor tabi... ''Nasıl her alanla bu kadar ilgilenebilir? Bu kadar da olamaz ki? Olağanüstü güce mi sahip bu adam?'' Cümlelerini duyar gibiyim.Leonardo da Vinci'yi anlamak mümkün değil ancak tek bir eseri hakkında bir şeyler okuyunca bile o mükemmel büyüye kapılıp evet gerçekten de dâhiymiş demekten alıkoyamıyor insan kendisini. Gelin öyleyse bir göz atalım Mona Lisa'ya...

 

 

Mona Lisa Leonardo'nun kavak bir pano üzerine Sfumato (Duman gibi havaya karışıp yok olmak anlamına gelir.) tekniği ile resmettiği yağlıboya portresi. (Daha fazla bilgi için: https://tr.wikipedia.org/wiki/Mona_Lisa ) Bu portrenin sıradan bir eser olmamasının birçok sebebi var. Mona Lisa estetiği, fiziği, matematiği, felsefeyi ve daha birçok bilimi içinde barındırıyor. Bizde matematikçi olarak Mona Lisa'yı geometriye başlamadan önce ilginç bir örnek olarak sunabiliriz. Nasıl mı?
 
Çevremizde birçok geometrik şekli görebiliriz. Ev eşyalarımızda, okulda, televizyonda, bilgisayar oyunlarında ve daha birçok yerde. Peki Mona Lisa'nın geometriyle ne alakası var? Bugüne kadar olan yazılarımda hep gizemin olduğu yerde matematiğin de bulunduğunu anlatmaya çalıştım. Gizemin en çok olduğu Mona Lisa'da matematiğin olması elbette şaşırtmıyor bizi. Örneğin, Mona Lisa'ya farklı açı ve uzaklıklardan bakınca farklı mimikler görebiliyoruz. Aynı zamanda yapılan çalışmalar bize Mona Lisa'da yoğun bir şekilde altın oranın bulunduğunu kanıtlıyor.

(http://www.mathematicianspictures.com/)

(http://www.guncelmakaleler.com/altin-oran-nedir-gizemleri-nelerdir/)

 

 

Mona Lisa üzerinde yapılan çalışmalar sonucunda şu bilgilere rastlanılmış.

''Mona Lisa' nın baş ve omuzlara kadar olan bölümü bir dikdörtgen
içerisine dâhil ettiğimizde, ortaya çıkan Altın Dikdörtgen görülmektedir. Bu dikdörtgen içerisinde portreyi içine alan karede gözün üzerinde merkez tespit edilmektedir. Mona Lisa tablosunda boyundan ellerin yukarısına kadar ve elbisenin arkasından ellerin altına kadar altın dikdörtgenler yer almaktadır. Atalay’ın (2006) Matematik ve Mona Lisa adlı kitabında belirttiği gibi; Mona Lisa’nın sağ omzuyla, sağ yanağı, sol omzuyla, sol yanağına göre, hafifçe yana dönmüş gövdesi, 72-36-72 açılarına sahip bir Altın Üçgen içine yerleştirilebilir.
Diğer resimde de Mona Lisa altın dikdörtgen içine yerleştirilmiştir. Sarmal bileğin alt bölümünden yani Mona Lisa’nın bel bölümünden başlamıştır.''

(Daha fazla bilgi için:http://efdergi.yyu.edu.tr YYÜ Eğitim Fakültesi Dergisi (YYU Journal Of Education Faculty),2016,Cilt:XIII, Sayı:I,360-382)

Evet sevgili okurlarım şimdi de biraz geleceğe yolculuk edelim. Öğretmen olduğumuz yıllara... Ders: Matematik, Konu: Geometri. Zaten öğrenciler yoğun okul temposundan bunalmış bir de üstüne matematik dersi zamanı.İşte tam da bu sırada onları Mona Lisa'yla tanıştırdık. Üçgenleri, dikdörtgenleri gördüler hele de bunların altın sıfatıyla tanımlandığını öğrendiler. Sizce de oldukça dikkat çekici bir örnek değil mi? Hem öğrencilerin ilgisini topladık hem de konuya güzel bir giriş yaparak konunun akıcılığını sağladık. Sorarım size şimdi hangi öğrenci matematik dersi çok sıkıcı ve zor der ki?