18 Mart 2017 Cumartesi

PARADOKS

 MAHŞERİN ÜÇ PARADOKSÇUSU

Sevgili okuyucularım merhabalar. Bugüne kadar yazdığım yazılarda bir nebze  olsun matematiğin öğrencilere dayatılan bir ders olmanın dışında hayatın her anında bulunan, kendiliğinden ortaya çıkan veya biz insanların oluşturduğu bilim ve sanat olduğunu ifadeye etmeye çalıştım. Amacım matematiğe farklı bir gözle bakabilmenizi sağlamaktı. Çünkü matematiğin 'zor' ve 'sıkıcı' olduğuyla alakalı bir algı var. Öğrenciler matematikten korkuyorlar ve matematiği sevmediğini söylüyorlar. Maalesef ki öğretmenlerimiz de matematiğe farklı bir bakış açısıyla baktırabilmek, farklı bilim dallarıyla ilişkilendirmek yerine hiç merak uyandırmadan, isteği ve ilgiyi artırmadan dersi anlatıyorlar ve önemli yerleri EZBERLEtiyorlar. Sinan Sertöz'ün 'Matematiğin Aydınlık Dünyası' isimli kitabında söylediği gibi
   ''Matematikte ezber diye bir şey yoktur.''
Sertöz aynı kitabında matematiği şu cümlelerle tanımlıyor:
   ''Matematik, Yaratıcının doğanın içine bıraktığı ipuçlarıdır.'',        ''Matematik belli bir eğitimden sonra, kişinin kendisine  kazandıracağı bir eğitimden sonra, elde edilen bir yaşama sevincidir, bir insanlık macerasıdır.'' , ''Bilgisizliğin boş ve dingin huzurunu değil, bilginin çoşkun mutluluğunu aramak. İşte binlerce yıldır süren bu arayışın adı Matematik.'' 
İşte biz matematik öğretmenlerinin en önemli görevi bu tanımları içselleştirip öğrencilerinin matematiğe bu şekilde bakabilmelerini sağlamaktır. Bugün sizlere matematik dersleri içerisine serpiştirilebilecek oldukça ilgi çekici bir konudan bahsetmek istiyorum.
Yazının bundan sonraki kısmını daha iyi anlayabilmeniz için ÖĞRETMEN'İN ESERİ ve MÜZİĞİ DANSA KALDIRAN MATEMATİK başlıklı yazılarımı okumanızı tavsiye ederim. Çünkü  bugün Escher, Bach ve daha önceden bahsetmediğim Gödel'in çalışmalarının hangi noktada kesiştiğinden bahsedeceğim. Escher'in resim, Bach'ın ise müzik alanında dahi olduğundan bahsetmiştik.
Peki Gödel kimdir? Gödel mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefesicidir. Onun da diğer dehalar gibi ilgi çekici bir kişiliği vardır. Yaşamının son yıllarında zehirleneceği paranoyasına kapılarak hiçbir şey yememeye başlamış ve bunun sonucunda da beslenme yetersizliğinden hayata gözlerini yummuştur.(Daha fazla bilgi için: https://tr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del )
Şimdi zihinlerinizde neden Escher, Bach ve Gödel soruları belirmeye başlamıştır. Hayat hikayelerini okuyunca aslında birbiriyle bağlantısı olmayan ve farklı alanlarda çalışmalar yapmış bilim ve sanat insanı gibi görünüyorlar ancak çok çarpıcı bir noktada eserleri kesişiyor. Paradoks.
Escher'in çizimlerine baktığımızda hayır sadece baktığımızda değil dikkatli bir şekilde anlamaya çalıştığımızda sürekli bir döngüyle karşılaşıyoruz. Döngüyü devam ettirdiğimizde ise sürekli aynı noktaya çıkarak çıldıracak gibi oluyoruz. Escher çizimlerinde beynimizle alay ediyor sanki. Böyle bir mükemmelliğe sahip. Örneğin aşağıda gördüğünüz ''Çizen eller'' eseri.
http://www.patakute.com/yazi/m-c-escher-in-ilginc-dunyasi
 
Sağ el sol eli, sol elde sağ eli çiziyor ve bir paradoksa düşüyoruz. Aşağıdaki video Escher'in ''Görecelik'' isimli eserinden yola çıkılarak hazırlanan bir animasyon. Buradaki paradoksu kolaylıkla görebiliyoruz.
 

Birazda Bach'dan bahsedelim. Bach'ın ''Yengeç Kanonu''nda bulunan iki ses birbirinin aynısı ve birbirinin tersten çalınmış halidir. Aşağıdaki videodaYengeç Kanonu ve Möbius Şeridinin nasıl iç içe olduğunu ve müzikteki paradoksun bir örneğini göreceksiniz.
 
Peki Gödel'in paradoksla bağlantısı ne? Belki de içlerinde en çok Gödel paradoksla ilgilenmiştir. Galatasaray Üniversitesi Matematik Bölümü'nden İrem PORTAKAL'ın 'Garip Döngüler' başlıklı makalesinde şu bilgiler bulunmaktadır:
''Gödel’in keşfi, felsefedeki eski bir paradoksun matematik terimlerine çevrilmesidir. Paradoks, Epimenides paradoksu veya yalancı paradoks olarak bilinir. Epimenides ölümsüz bir tümce söylemiş bir Giritliydi: “Bütün Giritliler yalancıdır.”. Bu önermenin çarpıcı bir versiyonu basitçe “Ben yalan söylüyorum” ya da “Bu önerme yanlıştır”dır. Bu önermenin yanlış ya da doğru olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü, önermenin bir an için doğru olduğunu düşünürseniz anında geri teper ve size yanlış olduğunu düşündürür. Ama yanlış olduğuna karar verdiğinizde de, benzer bir geri tepmeyle sizi onun doğru olması gerektiği düşüncesine döndürür. Gödel’in keşfettiği, Epimenides paradoksunun matematikle ilişkisidir. Eksiklik Teoremi. Teorem, 1931 yılında “Principia Mathematica ve Benzeri Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine” başlıklı makalesinde VI. Önerme olarak ortaya çıkar ve basitçe şöyle der: Sayı kuramının bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir.  “Bu önerme yanlıştır” önermesinin doğru olduğunu kabul edelim, o halde, önerme doğrudur. Ancak, önermenin yanlış olduğunu biliyoruz. O halde önerme doğru olamaz. Önerme yanlışsa, “Bu önerme yanlıştır” önermesi yanlıştır, o halde önerme doğrudur.
      Gödel’in ikinci Eksiklik Teoremi birincisinden de felsefidir. Bu teoreme göre, doğal sayıları, toplamayı ve çarpmayı anlayacak güçte olan bir matematik sistemi hiçbir zaman kendisinin çelişkisiz olduğunu kanıtlayamaz. Bu teorem, matematiğin çelişkili ya da çelişkisiz olduğunu söylemiyor, sadece çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını söylüyor.''

Buradan tarihte önemli yere sahip olan 3 ismin eserlerinin paradoks kavramında kesiştiğini görüyoruz. ''Peki iyi, güzel. Adamlar ya sezgisel olarak ya da gerçekten uzun uğraşlar sonucunda paradoksu oluşturmuşlar. Ancak bunu matematik dersinde nasıl kullanacağım?'' dediğinizi duyar gibiyim. Öğrenciler merak ettikleri şeye ilgi duyarlar ve ilgi duydukları şeyi severler, sevdikleri şeylerde de başarılı olurlar. Paradoks gibi bu kadar ilgi çekici bir konuyu matematikle ilgisi olması açısından dersin girişinde yukarıdaki bilgilerden bahsederek ya da ilgili videoları izleterek tüm ilgiyi toplayabiliriz. Ya da ortaokul ve lise öğrencilerini oldukça zorlayan yaş problemleri, havuz problemleri, karışım problemleri gibi konulardan önce içinde paradoksu bulunduran örneğin;

  •  İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:
          "Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise

60 Kalem..............x TL'dir   Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

  •  Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?Kendi kendine traş olsa;  kendisini traş edebildiği için  tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir.
gibi problemlerle derse başlayıp hem öğrencilere beyin fırtınası  yaptırmış hem de merak duygularını ön plana çıkarmış oluruz.

 

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder